医科高等数学学习方法

1、医科《高等数学》的教学现状

《高等数学》是医学类院校所有课程中最基础也是举足轻重的一门课，学生能否深刻领会和掌握本课程的思想与方法，不仅关系到能否学好相关后续课程，对学生未来的发展也将产生重大影响。我们数学教研组的任课教师在平时与学生的交流过程中，感觉到学生在学习高等数学中经常遇到的问题对其学习进程有很大的影响。作为医科高等数学课程的教师，我们按“问题–理论–应用”或“问题–数学模型–问题的解决”组织教学内容, 即由实践到理论，再由理论指导实践，从具体到抽象再从抽象到具体，把知识的“学术形态”变为“教育形态”，以便让学生掌握本学科的基本概念、基本理论和基本方法，具有用本学科知识分析和解决问题的能力。教学过程中，我们让学生记住尽可能少的、易于记住的核心公式与定理，避免学生因机械地记忆过多的不易记住的公式与定理而造成的厌学情绪。

2、医科《高等数学》的学习特点

高等数学课程的特点是重要但枯燥。重要是显而易见的，高等数学作为医学生核心课程，对其它相关后继课程的学习至关重要；同时它又是枯燥乏味的，大部分与数学相关课程的共性，这似乎是一对矛盾，要处理这对矛盾，就要解决一个高等数学学习当中的技巧性问题和心理问题。当然不可能人人都能把高等数学学好，一个学生不愿学数学，他也许也是对的，可能他既不懒也不笨，只不过对别的东西更感兴趣一些——我们周围的事物中有趣的东西太多了，再者由于各人的性向不同，有的人倾向于人文学科，有的人倾向于逻辑思维，有的人倾向于空间思维，有的人则倾向于动手能力。各人的倾向性不一样，擅长的方面也各不相同，对高等数学能达到的层次也会参差不齐，但有一点，高等数学的一些基本要求一定要掌握，例如高等数学中的一些基本概念、基本原理不能有半点马虎。因为无论将来我们从事什么行业，高等数学作为一种基本的处理事物的方法都非常重要。一般的学生只要通过正确的方法，正确的引导都能够达到[1]。

微分与积分是高等数学这门课的核心内容，也是一对主要矛盾。原则上讲，微分中的一条定理或公式，在积分中也应有相应的定理与公式，反之亦然，即它们之间应是相互对应的。而且从某种意义上讲，它们是同一事物的两种不同的表达形式。按照这种观点进行教学，可以将众多的定理与公式梳理清楚，易于为学生所理解与接受，而且学生可以知其一而知其二，需要记住的内容大大减少。只要紧紧抓住微分与积分这对主要矛盾，对众多的公式加以梳理，条理就会十分清楚，要记住的公式也就不多了，可以说是纲举目张。

3、医科《高等数学》的学习方法与技巧

3.1 “数学”概念

3.1.1 概念的形成需要一个过程。与人生哲理等概念不同，高等数学概念具有叠加性，也就是说新概念是在旧概念叠加的基础上来认识的。概念是高等数学中的一个根本问题，不是靠背，而是在不断地运用中逐渐形成的，须经过比较、实践、摸索、总结、归纳等过程，最后建立一个完整的概念。这个过程甚至可以说是痛苦的，漫长的一个阶段。

3.1.2 概念具有长期性。每个概念都有一个失败一认识一再失败的过程，伴随着你对这个概念的错误理解，在挫折中不断加深的。

3.1.3 概念是随着一个人知识的增加而不断深入的。学高等数学对一个人建立完整的思维方式很重要，随着对不同高等数学概念的深入理解，人们处理问题的方式可以越来越趋于严谨。

3.1.4 要建立一个高等数学的概念网。高等数学是一个个概念的点阵，所有的相关的、从属的概念要在头脑中形成一个网络。学概念要把不能纳入其中的或相关概念认识清楚。总概念中各相关概念是怎样发展的要有一个清晰的脉络。

3.1.5 从不同的层面上来理解一个数学概念。有比较才有认识，对于一个高等数学概念要擅于从正面、侧面、上面、下面等各个层面上来认识它。对于相似的’、类似的概念或概念的内部关系认识不清，不利于理解概念，这说明高等数学未学深入[2]。

3.2 运算能力：符号化、模式化是高等数学的一大特点，对这点我们应该有深刻的认识

3.2.1 模式化。高等数学的一些定理、原理、公理都有一定的模式，“因为所以”即最简单的一种模式，对各种数学模式的理解认识也是对人的逻辑思维能力的训练。

3.2.2 符号化。高等数学的符号与表达性符号不同，文学艺术中的表达性符号是需要我们仔细体会其中的含义的；而高等数学中的符号是一种替代性符号，它无需我们想其含义，作用就在于推导，它只是一个替身，帮助我们进行数学思维，所以我们不可以在它的含义上耗费太多的精力。数学就是符号游戏，我们对符号必须精通，才能进行迅速变形[3]。

1. 概念的形成需要一个过程。与人生哲理等概念不同，高等数学概念具有叠加性，也就是说新概念是在旧概念叠加的基础上来认识的。概念是高等数学中的一个根本问题，不是靠背，而是在不断地运用中逐渐形成的，须经过比较、实践、摸索、总结、归纳等过程，最后建立一

2. 概念具有长期性。每个概念都有一个失败一认识一再失败的过程，伴随着你对这个概念的错误理解，在挫折中不断加深的。

3. 概念是随着一个人知识的增加而不断深入的。学高等数学对一个人建立完整的思维方式很重要，随着对不同高等数学概念的深入理解，人们处理问题的方式可以越来越趋于严谨。

4. 要建立一个高等数学的概念网。高等数学是一个个概念的点阵，所有的相关的、从属的概念要在头脑中形成一个网络。学概念要把不能纳入其中的或相关概念认识清楚。总概念中各相关概念是怎样发展的要有一个清晰的脉络。

5. 从不同的层面上来理解一个数学概念。有比较才有认识，对于一个高等数学概念要擅于从正面、侧面、上面、下面等各个层面上来认识它。对于相似的’、类似的概念或概念的内部关系认识不清，不利于理解概念，这说明高等数学未学深入[2]。

6. 2 运算能力：符号化、模式化是高等数学的一大特点，对这点我们应该有深刻的认识

7. 模式化。高等数学的一些定理、原理、公理都有一定的模式，“因为所以”即最简单的一种模式，对各种数学模式的理解认识也是对人的逻辑思维能力的训练。

8. 符号化。高等数学的符号与表达性符号不同，文学艺术中的表达性符号是需要我们仔细体会其中的含义的；而高等数学中的符号是一种替代性符号，它无需我们想其含义，作用就在于推导，它只是一个替身，帮助我们进行数学思维，所以我们不可以在它的含义上耗费太多的

9. 从做题方式来分，平时作业可分为硬作业和软作业两种：硬作业是指每天需要认认真真做的作业，这类作业要按正规的步骤一丝不苟地做，旨在训练自己的笔头功夫和书写能力；软作业是指每日需抽出一定的时间来浏览若干习题，这类题主要是用来锻炼自己的思维能力的，

10. 做题要有节奏，难易结合。做题要讲质量，不能把精力都放在做偏、难、怪的题型上，若平时将重心放在难题上，基础知识难免会偏失，所以平时适度地做一些中等难度的题即可，关键是要学好基础知识，循序渐进。

11. 做题要留下体会，留下痕迹，学习分为三个过程：模仿、品味、迁移。模仿是初始阶段经常作用的一种方式，以老师或教科书为参照，按部就班地做。经过一次次地模仿，我们自己对这些记忆中的题型在大脑中进一步地加工、体会，形成自己对这类题的成型的理解。经过前

12. 4 学习方法。常见的数学学习方法有如下几种[4]：

13. 化归法。将复杂化问题化为若干个简单的问题。注意经常对知识进行归纳、整理、总结，促进学过的知识更加系统化、条理化，解题时就能比较顺利地将内在关系理顺。

14. 做题时应树立一种次序和关联的思想。数学的题干中各要素一般都是按一定的次序和关系排放的，做题前要审清题意，分先后，分主次，各个击破。

15. 极限存在条件
    $\lim_{x \to x_0} f(x) = A \Leftrightarrow f(x_0^-) = f(x_0^+) = A$

16. 法则 1(夹逼法则) 若在同一极限过程中, 三个函数 $f_1(x)$、$f_2(x)$ 及 $f(x)$ 有如下关系:
    $f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)$ 且 $\lim f(x_1) = \lim f(x_2) = A$ 则 $\lim f(x) = A$

17. 法则 2(单调有界法则) 单调有界数列一定有极限

18. 无穷小定理 $\lim f(x) = A \Leftrightarrow \lim [f(x) - A] = 0$ 以 $--A$ 为无穷小, 则以 $A$ 为极限。
    性质 1 有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小 性质 2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小。 性质 3 在同一过程中, 无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。

19. 高阶同低阶无穷小, 假设 $\alpha, \beta$ 是同一变化过程中的两个无穷小, 且 $\alpha \neq 0$。
    (1) 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$, 就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 较高阶的无穷小, 记作 $\beta = o(\alpha)$

1.

设 $e^{-x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int xf(x)dx=$ ( B )。 A. $e^{-x}(1-x)+C$ B. $e^{-x}(1+x)+C$ C. $e^{-x}(x-1)+C$ D. $-e^{-x}(1+x)+C$

注： $\int xf(x)dx=\int xde^{-x}=xe^{-x}-\int e^{-x}dx=xe^{-x}+e^{-x}+C$

答案：B

2.

设 $f(x)=\begin{cases}(1+x)^{\frac{1}{x}},x\ne0\ \alpha,\quad x=0\end{cases}$，要使 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，则 $\alpha=$ ( C ) A 1 B 0 C $e$ D $\frac{1}{e}$

答案：C

3.

函数 $y=|x|+1$ 在 $x=0$ 处满足条件 ( A ) A 连续但不可导 B 可导但不连续 C 不连续也不可导 D 既连续已可导

$y=f(x)=|x|+1$ $\lim_{x\to0}[|x|+1]=1=f(0)\Rightarrow$ 在 0 点连续。

注：$f(x)=\begin{cases}1+x & x\ge0\1-x & x<0\end{cases}$ $f'(x)=\begin{cases}1 & x>0\-1 & x<0\end{cases}$ $f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}=\begin{cases}1,x\to0+\-1,x\to0-\end{cases}$

答案：A

4.

已知 $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$ 且 $f'(k)=(c-a)(c-b)(c-d)$，则 $k=$ ( C ) A $a$ B $b$ C $c$ D $d$

12 当 $x\to0$ 时，$(1+ax^2)^{\frac{1}{3}}-1$ 与 $\cos x-1$ 是等价的无穷小，则常数 $a=$ ( C )

A、$\frac{3}{2}$　　B、$\frac{2}{3}$　　C、$\frac{3}{2}$　　D、$\frac{2}{3}$

注：$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + ax^2)^{\frac{1}{3}} - 1}{\cos x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{3}x^2}{\frac{1}{2}x^2}$

答案：C

5.

已知 $f(x) = \begin{cases} ax + b, & x \ne 1 \ x^2, & x = 1 \end{cases}$，当 $x = 1$ 处处可导，则有 （A ）

A、a = 2, b = 1　　B、a = 2, b = 1　　C、a = 1, b = 2　　D、a = 1, b = 2

注：可导必连续，

$\lim_{x \to 1} ax + b = a + b = 1$

$f(x) = \begin{cases} a, & x \ne 1 \ 2x, & x = 1 \end{cases}$

$f(1) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$，$f(x) = \begin{cases} a, & x \ne 1 \ 2x, & x = 1 \end{cases}$

$\therefore f(x)$ 处处可导，a = 2, b = 1

答案：A

6.

设 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0) - \ln(1 + 3x)}{x^2} = 4$，则 $f(0)$ 等于（D ）

A、3　　B、4　　C、1　　D、$\frac{4}{3}$

注：设 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0) - \ln(1 + 3x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} \cdot \frac{\ln(1 + 3x)}{x}$

$f(0) \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x} = 3f(0) = 4$

答案：D

7.

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x$ 处可导，则它在点 $x$ 处的微分 $dy$ 是指（D ）

A、$f(x)$　　　　B、$f(x)$　　　　C、$x$　　　　　D、$f'(x) \cdot x$

第一学期高等数学期末考试试卷答案

一. 计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分），

答案：D

1.

当 $x \to 0$ 时，下列变量中（ B ）是无穷小量。 A. $\frac{\sin x}{x}$

$f'(x)=\phi'(x)\Rightarrow f(x)-\phi(x)=C.$ $\int df(x)=f(x)+C$ $\int d\phi(x)=\phi(x)+C$

2.

设 $e^{-x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int xf(x)dx=$ ( B )。 A. $e^{-x}(1-x)+C$ B. $e^{-x}(1+x)+C$ C. $e^{-x}(x-1)+C$ D. $-e^{-x}(1+x)+C$

注： $\int xf(x)dx=\int xde^{-x}=xe^{-x}-\int e^{-x}dx=xe^{-x}+e^{-x}+C$

答案：B

3.

设 $f(x)=\begin{cases}(1+x)^{\frac{1}{x}},x\ne0\ \alpha,\quad x=0\end{cases}$，要使 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，则 $\alpha=$ ( C ) A 1 B 0 C $e$ D $\frac{1}{e}$

答案：C

4.

函数 $y=|x|+1$ 在 $x=0$ 处满足条件 ( A ) A 连续但不可导 B 可导但不连续 C 不连续也不可导 D 既连续已可导

$y=f(x)=|x|+1$ $\lim_{x\to0}[|x|+1]=1=f(0)\Rightarrow$ 在 0 点连续。

注：$f(x)=\begin{cases}1+x & x\ge0\1-x & x<0\end{cases}$ $f'(x)=\begin{cases}1 & x>0\-1 & x<0\end{cases}$ $f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}=\begin{cases}1,x\to0+\-1,x\to0-\end{cases}$

答案：A

5.

已知 $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$ 且 $f'(k)=(c-a)(c-b)(c-d)$，则 $k=$ ( C ) A $a$ B $b$ C $c$ D $d$

12 当 $x\to0$ 时，$(1+ax^2)^{\frac{1}{3}}-1$ 与 $\cos x-1$ 是等价的无穷小，则常数 $a=$ ( C )

A、$\frac{3}{2}$　　B、$\frac{2}{3}$　　C、$\frac{3}{2}$　　D、$\frac{2}{3}$

注：$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + ax^2)^{\frac{1}{3}} - 1}{\cos x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{3}x^2}{\frac{1}{2}x^2}$

答案：C

6.

已知 $f(x) = \begin{cases} ax + b, & x \ne 1 \ x^2, & x = 1 \end{cases}$，当 $x = 1$ 处处可导，则有 （A ）

A、a = 2, b = 1　　B、a = 2, b = 1　　C、a = 1, b = 2　　D、a = 1, b = 2

注：可导必连续，

$\lim_{x \to 1} ax + b = a + b = 1$

$f(x) = \begin{cases} a, & x \ne 1 \ 2x, & x = 1 \end{cases}$

$f(1) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$，$f(x) = \begin{cases} a, & x \ne 1 \ 2x, & x = 1 \end{cases}$

$\therefore f(x)$ 处处可导，a = 2, b = 1

答案：A

7.

设 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0) - \ln(1 + 3x)}{x^2} = 4$，则 $f(0)$ 等于（D ）

A、3　　B、4　　C、1　　D、$\frac{4}{3}$

注：设 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0) - \ln(1 + 3x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} \cdot \frac{\ln(1 + 3x)}{x}$

$f(0) \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x} = 3f(0) = 4$

答案：D